Cauchy Distribution(코시 분포)

iid한 표준 정규 분포를 따르는

X

Y

확률 변수에 대해서

T = X / Y

로 정의되는 확률변수의 분포.

특이한 특성이 많은데,

기대값을 가지지 않으며, 기대값을 구하면 발산하는 결과가 나온다.
코시 분포를 따르는 iid한 확률 변수들의 표본평균(sample mean)은 코시분포이다.
1. 보통 다른 여러 확률 변수들의 평균은, 확률 변수들의 개수가 적을 때만 그 분포를 따르다가, 개수가 많아지면 Law of Large Numbers에 의해서 모평균(population mean)과 비슷해진다.
2. 하지만 코시분포는 아무리 많은 iid한 확률 변수들의 평균을 내어도 코시분포를 그대로 따른다.
3. 즉, 참 값이 존재하지 않으며, 분포가 변하지 않고 계속해서 존재한다.

PDF

CDF $F (t)$ 를 미분하면 PDF를 구할 수 있다.

정규분포는 0에 대해서 대칭성을 가지므로, 아래와 같이 변형 가능하다.

F (t) = P (\frac{Y}{X} \leq t) = P (\frac{∣ Y ∣}{X} \leq t) = P (X \leq t ∣ Y ∣)

Law of Total Probability에 의해서 다음과 같이 변형된다.

= \int_{- \infty}^{\infty} P (X \leq t ∣ Y ∣∣ Y = y) ϕ (y) d y

$ϕ$ 는 표준 정규 분포의 PDF이다. 그리고 $Y = y$ 로 값이 알려져 대입되고, $X$ 와 $Y$ 가 독립이므로 조건 부분이 없어도 동일하다. 따라서

\int_{- \infty}^{\infty} Φ (t ∣ Y ∣) ϕ (y) d y = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- y^{2} /2} Φ (t ∣ y ∣) d y = = even func \frac{2}{π} \int_{0}^{\infty} e^{- y^{\frac{2}{2}} Φ (t y) d y} \dots (1)

이 때 함수가 연속이고, 적분 범위에서 미분 가능하며 발산하지 않고 수렴하는, well-behaved하다. ⇒ 미분과 적분의 순서를 바꿀 있다.

F^{'} (t) = f (t) = \frac{2}{π} \int_{0}^{\infty} y e^{- y^{2} /2} \frac{1}{2 π} e^{- t^{2} y^{2} /2} d y = \frac{1}{π} \int_{0}^{\infty} y e^{- (1 + t^{2}) y^{2} /2} d y = \frac{1}{π ( 1 + t ^{2} )}

CDF는 위 함수를 적분하면 된다.

F (t) = \int_{- \infty}^{t} f (s) d s = \frac{1}{π} [arctan (s)]_{- \infty}^{t} = \frac{1}{π} arctan (t) - (\frac{1}{π} \cdot - \frac{π}{2}) = \frac{1}{π} arctan (t) + \frac{1}{2}

$\dots (1)$ 에서, $P (X \leq t ∣ Y ∣)$ 는 평면에 대해서 해당 부등식을 만족하는 영역을 의미한다. 따라서 2차원 PDF에 대해서 적분을 하여 구해도 된다.

\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- y^{2} /2} \int_{- \infty}^{t ∣ y ∣} e^{- x^{2} /2} d x d y = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- y^{2} /2} Φ (t ∣ y ∣) d y